终极平方和问题

在前几天,我随意想了想,发现了个有趣的规律我相信前人肯定早已发现(我没百度相关问题)

  1. 如34这样的两位数,如果将它的个位十位数字进行平方和的计算可得3^2+4^2=25.
  2. 得到25这个新的两位数,然后再进行平方和的运算,可得2^2+5^2=29
  3. 继续平方和,2^2+9^2=85
  4. 8^2+5^2=89
  5. 8^2+9^2=145
  6. 1^2+4^2+5^2=42
  7. 4^2+2^2=20
  8. 2^2+0^2=4

第8步由于是个位数停止运算,这时你会发现最终的答案将落在4这个个位数。记这个算法位f(a,b)[n]称终极平方和算法。(自己命名的)

按照这个算法,神奇的事情将会出现。

命题:一个两位数ab,a或b至少一个大于等于3且,a和b是10以内的正整数。另假设ab≠78和87,那么对于算法f(a,b)[n]有f(a,b)[m]=4 或1,其中m满足f(a,b)[m]是个位数且f(a,b)[m-1]是十位。

换句话说,除去78,87这个两个两位数,当任意一个两位数它的个位数和十位数至少一个大于3,那么终极平方和算法的结果不是1就是4.

当然我没算错的话上述命题应该成立,大家可以试一试。

而且大家算的多的话,将会发现很多数字都回归一个套路最终返回到4(大多数情况下),算上78和87那么这个终极平方和的值就是4,2,1中之一。

另外,这让我想到collatz猜想:

如果一个数是偶数,那么将它除以2;如果这个数是基数,那么将他乘以3加1.

持续的执行这个算法,那么最终将回归到1这个数字上。

 

举例:

a.11(初始数字), 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

b.14,7,22,11,34,17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

……

最终的模式都是归为4,2,1,4,2,1,……

 这些是初步想法,待以后深入思考一下。

 

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以下是更新内容

关于完整的终极平方和问题我已经想的差不多了,我会逐个分析其组成部分:

自定义术语:

终极平方和算法:参考分割线上方的例子

N次平方和:一个数各个位数进行平方计算后相加称为一次平方和,该平方和的值再进行各个位数的数字平方的计算再求和称为二次平方和,……直到N次后即N次平方和。

命题:任何一个2位数及以上的数(正整数),且其中存在至少一个位数大于等于3的数,那么它的终极平方和的值是4,2,1三者之一。

分析:

1.任何4位数及以上的数,其一次平方和得到的数必定是其下一等级的位数。

  • 例子:如四位数9999的一次平方和是4*9^2=324即是3位数。也即,任何4位数的一次平方和的值是3位数
  • 用数学的语言去描述的话是:a*9^2<10^a,其中(位数)a>=4  (数学归纳法可证之)。 它的意思是比如一个4位数,它最大是9999这个数,平方和的值是4*9^2=324<10^4,意思是4位数最大的值的一次平方和也小于4位数即3位数那任何4位数的一次平方和也必然是3位数。(因为最大值9999也表示,每个位数也最大,那么其一次平方和是4位数的平方和里面也是最大的。可自证之。)
  • 推论a:也即是说任何4位数及以上的数经过了一系列的平方和,其终究会变成3位数或3位数以下的位数。既然推论a成立那么,只要考虑3位数和2位数的情况,因任何数在经过终极平方和后最终都要返回到3位数或2位数上的。

2. 3位数的情况:

  • 999的一次平方和的值是243则说明任何三位数的一次平方和小于等于243,(可反证之而其成立的本质是和1.里第二条的原理一样)即243-999之间的数的一次平方和的值小于原来的3位数。
  • 249的一次平方和的值是101,说明200-249之间的数的一次平方和的值小于101,而101和100的一次平方和都不是3位数,所以200-999之间的数(包括200和999)的一次平方和的值都小于其原来的3位数。
  • 199的一次平方和的值是163,说明163-199之间的数的一次平方和的值小于原来的3位数。
  • 169的一次平方和的值是118,说明118-169之间的数的一次平方和的值小于原来的3位数。
  • 119的一次平方和的值是84,说明100-119之间的数的一次平方和的值小于原来的3位数。
  • 综上所述,有如此推论b:任意一个3位数,它的一次平方和的值小于其本身。
  • 继而有推论c:任意一个3位数,必然存在一个N使得经过有N次平方和,它的值必定是一个2位数或1位数。   (该推论就把问题归咎到了两位数的平方和问题上了。)

3. 2位数的情况

  • 由于两位数的情况复杂,举例来说,有些数字会经历很多次两位数变为3位数再变为2位数等过程如25,而本人也没有找寻到简洁的证明方式。故而只得采用枚举法,可得到如下结论
    • 任何一个两位数,且它的其中一个位数大于等于3,那么这个两位数的终极平方和的值是4,2,1其中的一种。  (也即是说符合原命题的表述)
    • (尝试过反证法,但由于无法理论的排除那些永远存在着循环的这一可能,即一个两位数A,经过一次平方和称为一个三位数B,然后再经过一次平方和得到C,最后再一次平方和的值为A,如此循环往复……。这更难证明,所以无法简单排除。但枚举能排除。)(记为x)

4.综合1.2.3.点内所有的信息可以得出一定的结论:

  • 任何4位数以上的数且至少其中一个位数大于等于3,那么它终究可以返回到一个2位数或1位数上。注意该两位数或1位数可能是性质不良的数如111,121,112等或者直接等于3,5,6,7,8,9这样的数。
  • 任何一个2位数和3位数满足至少其中一个位数大于等于3,那么它的终极平方和的值是4,2,1其中的一种。
  • 第二条的性质虽然好,但是由于某些较大的数(如4位数及以上的数)经过N此平方和降低到三位数时的值是111,121,112,所以就会产生性质不良的数那么它的终极平方和的值也就不是4,2,1的其中一个了。
  • 具体的计算一些性质不良的数可参考以下做法:
    • 111=a*1+b*4+c*9+d*16+e*25+f*36+g*49+h*64+i*81, 其中a,b,c,d,e,f,g,h,i,为待定常数。
    • 111=1*81+1*25+1*4+1*1=1*1^2+1*2^2+1*5^2+1*9^2,其中i=1,e=1,b=1,a=1.
    • 常数的值代表着个数,1*1^2代表1个1,1*2^2代表数值1个2,1*5^2代表1个5,1*9^2代表1个9,故而这个较大的经过一次平方和的值是111的数为1259
    • 猜想1259这应该是最小的能形成111的数值(待证明)
    • 这个性质不良的例子表明了原命题不成立。(非常遗憾)
  • 计算一些性质不良的例子如下:
    • 3,(111),1259,……  ;表示,111,1259的终极平方和能形成数值3.括号内的数值表示不符合原命题陈述的数值。
    • 5,(12),(222),113799,……
    • 6,(112),11259,……
    • 7,(1112),1379999999999999,……
    • 8,(22),1124,……
    • 9,(122),1269,……
  • 由上可见,3位数的N次平方和或终极平方和是没有不良的。不良是指,终极平方和的值是 非4,2,1即3,5,6,7,8,9而最小的不良数是1124(待证明)(不良数要求其至少一位数大于等于3)。

5.综合1.2.3.4.可以发现原命题虽然不成立,但依然还有一些没有解决的问题

  • x:有无 理论的方式,证明两位数的N次平方和的性质没有不良的,比如如何理论证明该算法中不存在一个循环使得A-B-C-A-B-C-………这样的情形甚至更复杂的循环。
  • y:为什么,符合命题陈述的2位数和3位数具有如次良好的性质使得其终极平方和的值是4,2,1
  • z:这与Collatz猜想有何联系(因其也是于4,2,1循环在分割线上方展示过,只是巧合还是有深层次的联系)

剩余的内容还有待思考